Для того чтобы доказать, что выражение (9^n - 8n - 9) делится на 9, нужно показать, что это выражение равно 0 (mod 9), то есть, что оно является кратным 9.

Заметим, что при подстановке n=1 получаем:

(9^1 - 8*1 - 9 = 9 - 8 - 9 = -8).

Теперь раскроем выражение (9^n - 8n - 9) с помощью бинома Ньютона:

(9^n = (8+1)^n = \binom{n}{0}8^n1^0 + \binom{n}{1}8^{n-1}1^1 + \binom{n}{2}8^{n-2}1^2 + ... + \binom{n}{n-1}8^11^{n-1} + \binom{n}{n}8^01^n).

Подставим это в наше выражение:

(9^n - 8n - 9 = \binom{n}{0}8^n1^0 + \binom{n}{1}8^{n-1}1^1 + \binom{n}{2}8^{n-2}1^2 + ... + \binom{n}{n-1}8^11^{n-1} + \binom{n}{n}8^01^n - 8n - 9).

Раскроем скобки:

(\binom{n}{0}*8^n - 8n - 9).

Так как (\binom{n}{0} = 1), то выражение преобразуется в:

(8^n - 8n - 9).

Теперь заметим, что (8^n) делится на 9 при любом n, так как 8 и 9 являются взаимно простыми числами. Таким образом, сумма (8^n - 8n - 9) также делится на 9.

Следовательно, выражение (9^n - 8n - 9) делится на 9.