Для того, чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, достаточно показать, что его диагонали перпендикулярны.
Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A и C:
Уравнение прямой через две точки (x1, y1) и (x2, y2) задается уравнением y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) (x - x1).
В данном случае получим: y - 2 = (12 - 2) / (12 - 15) (x - 12), откуда y = -3x + 38.
Аналогично, найдем уравнение прямой, проходящей через точки B и D:
Уравнение прямой через точки B(15;11) и D(9;3) имеет вид y = -2x + 29.
Теперь найдем точку пересечения этих двух прямых, которая будет точкой на диагонали AC четырехугольника ABCD:
-3x + 38 = -2x + 29, откуда x = 9.
Подставим x = 9 в любое из уравнений и найдем y = -3*9 + 38 = 11.
Таким образом, точка пересечения диагоналей AC является точкой (9;11). Аналогично найдем вторую точку пересечения диагоналей BD по тому же принципу: она также будет иметь координаты (9;11). Таким образом, диагонали перпендикулярны, что означает, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником.

Для нахождения площади прямоугольника ABCD, можно воспользоваться формулой:
S = |AD| |BC|,
где |AD| - длина одной из сторон прямоугольника, а |BC| - длина другой стороны.
Сначала найдем длины сторон прямоугольника:
|AD| = √[(9-12)^2 + (3-2)^2] = √(9 + 1) = √10,
|BC| = √[(15-12)^2 + (11-12)^2] = √(9 + 1) = √10.
Теперь найдем площадь прямоугольника:
S = √10 √10 = 10.

Таким образом, площадь прямоугольника ABCD равна 10.