Для начала найдем частные производные функции z = ln(x^2+ y^2) до второго порядка.

Найдем первые частные производные:
dz/dx = 2x / (x^2 + y^2)
dz/dy = 2y / (x^2 + y^2)

Найдем вторые частные производные:
d^2z/dx^2 = (2(x^2+y^2) - 2x2x) / (x^2 + y^2)^2 = (2y^2 - 2x^2) / (x^2 + y^2)^2
d^2z/dy^2 = (2(x^2+y^2) - 2y2y) / (x^2 + y^2)^2 = (2x^2 - 2y^2) / (x^2 + y^2)^2
d^2z/dxdy = 2xy - 2xy / (x^2 + y^2)^2 = 0

Теперь определим локальные экстремумы функции f(x, y) = 10x^2y-5x^2-4y^2.

Найдем градиент функции f(x, y):
∇f = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j
∂f/∂x = 20xy - 10x
∂f/∂y = 10x^2 - 8y

Тогда градиент будет: ∇f = (20xy - 10x)i + (10x^2 - 8y)j

Найдем точки, где градиент равен нулю:
20xy - 10x = 0
10x^2 - 8y = 0

Из первого уравнения получаем: y = 2
Подставляем y = 2 во второе уравнение:
10x^2 - 16 = 0
x = ±2

Таким образом, найдены точки экстремума: (2, 2) и (-2, 2)

Для определения типа экстремума используем критерий Сильвестра. Посчитаем миноры гессиана в точках экстремума:
f_xx = 20y - 10, f_xy = 20x, f_yy = -8

В точке (2, 2):
D1 = 20 (-8) - 20 20 = -400 < 0, fxx < 0, следовательно, точка (2, 2) - точка максимума

В точке (-2, 2):
D1 = 20 (-8) - (-16) = 400 > 0, fxx > 0, fxxfyy-fxy^2=4000 > 0, следовательно, точка (-2, 2) - точка минимума

Таким образом, найдены локальные экстремумы функции f(x, y).