Дано: отношение Т на множестве М является иррефлексивным или антирефлексивным. Требуется выяснить, будет ли отношение Т◦Т антирефлексивным на множестве М.

Отношение Т◦Т состоит из всех упорядоченных пар (a, c), для которых существует элемент b из М, такой что (a, b) принадлежит T и (b, c) принадлежит Т.

Предположим, что отношение Т на М является иррефлексивным. Тогда для любого элемента x из М не выполняется условие (x, x) принадлежит T. Таким образом, если для пары (a, c) из отношения Т◦Т существует элемент b, такой что (a, b) принадлежит Т и (b, c) принадлежит Т, то элементы a и c не равны между собой, и, следовательно, отношение Т◦Т будет антирефлексивным на М.

Если отношение Т является антирефлексивным, то для любого элемента x из М существует пара (x, x), которая не принадлежит Т. В данном случае при обращении отношения Т◦Т возможно взять один и тот же элемент b в качестве b. Но в силу антирефлексивности отношения Т, пара (b, b) не принадлежит T, что означает, что элемент b не равен самому себе, то есть отношение Т◦Т также будет антирефлексивным на множестве М.

Таким образом, отношение Т◦Т будет антирефлексивным на множестве М в обоих случаях: если отношение Т является иррефлексивным или антирефлексивным.