Предположим, что такого числа нет. Рассмотрим произвольное число на нашем бесконечном листе. Пусть это число равно а. Тогда по условию, число а не превосходит ни одно из восьми чисел, стоящих рядом с ним. То есть оно строго меньше всех этих восьми чисел.

Рассмотрим среди этих восьми чисел наибольшее число. Пусть это число равно b. Тогда число a строго меньше числа b. Но так как число a не превосходит ни одного из восьми чисел, стоящих рядом с ним, то оно должно быть строго меньше и второго по величине числа среди этих восьми чисел. Пусть это второе по величине число равно c.

Но так как число a строго меньше числа b и строго меньше числа c, то оно не может одновременно быть строго меньше и двуух наибольших среди восьми чисел. Противоречие.

Следовательно, найдется число, которое не превосходит по крайней мере четырех из восьми чисел, стоящих с ним рядом.