Докажем данное утверждение.

Пусть у нас есть произвольный n-угольник с данным набором сторон. Рассмотрим его вписанный в окружность n-угольник. Пусть данная окружность имеет радиус R.

Так как у нас уже заданы стороны n-угольника, то мы знаем его периметр P. Площадь S любого n-угольника можно выразить через его периметр и радиус описанной окружности по формуле: S = P * R / 2.

Таким образом, площадь n-угольника пропорциональна радиусу описанной окружности. Из этого следует, что для максимальной площади необходимо выбирать такой n-угольник, который вписан в окружность.

Таким образом, мы доказали, что из всех n-угольников с данным набором сторон наибольшую площадь имеет тот, который вписан в окружность.