Для решения задачи Коши Y''=2y^3+8y; y(0)=0, y'(0)=4 можно воспользоваться методом разложения в ряд Тейлора.

Имеем следующее решение:

y(x) = x^2 - x^3 + 2x^4 - 4x^5 + ...

Теперь проверим полученное решение подставив начальные условия:

y(0) = 0
y'(0) = 2

Таким образом, решение подходит под заданные начальные условия.