Решение и сравнение двух подходов.
1) Дифференцирование. Пусть $f(x)=\frac{a}{x}+bx$ при $x>0$.
$$f^{\prime }(x)=-\frac{a}{x^2}+b,f^{\prime \prime }(x)=\frac{2a}{x^3}>0.$$ Приравнивая производную нулю: $-\frac{a}{x^2}+b=0\Rightarrow x^2=\frac{a}{b}$, поэтому строгий минимум при
$$x_{\ast }=\sqrt{\frac{a}{b}},f(x_{\ast })=2\sqrt{ab}.$$
2) Неравенство между средним арифметическим и геометрическим (AM–GM). Для положительных чисел $u=\frac{a}{x}$ и $v=bx$ имеем
$$\frac{u+v}{2}\ge \sqrt{uv}\Rightarrow \frac{a}{x}+bx\ge 2\sqrt{\frac{a}{x}\cdot bx}=2\sqrt{ab}.$$ Равенство достигается при $u=v$, т.е. при $\frac{a}{x}=bx\Rightarrow x=\sqrt{\frac{a}{b}}$. Получаем тот же минимум $2\sqrt{ab}$.
Сравнение подходов — когда проще и что более общее:
- Простота: AM–GM короче и элегантнее — даёт сразу нижнюю границу и условие равенства без расчёта производных; удобно в олимпиадных задачах и при типичных выражениях вида $A/x+Bx$.
- Общность: дифференцирование более универсально — работает для любых гладких функций, позволяет находить экстремумы при общих видах выражений, учитывает крайние точки области определения и позволяет исследовать характер (минимум/максимум) через вторую производную. Когда выражение не сводится к удобному произведению или требует дополнительных ограничений, дифференцирование предпочтительнее.
- Условия применимости: AM–GM требует положительности слагаемых (здесь выполняется). Дифференцирование требует дифференцируемости и проверки границ области (если область конечна или включает границы).
- Обобщения: для более сложных степенных сочетаний можно применять взвешенное AM–GM или неравенства Гёльдера/Коши; если такие приёмы неудобны, берут дифференцирование.
Итого: оба метода дают одно и то же оптимальное значение и точку $x_{\ast }=\sqrt{a/b}$. AM–GM проще и короче в этом частном случае; дифференцирование — более общий инструмент для нетривиальных или несимметричных задач.