Ошибочное «доказательство» (с намеренным делением на ноль)
1) Возьмём матрицу $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$.
2) Выполним элементарную операцию: вычтем первую строку из второй:
$$R_2\leftarrow R_2-R_1\Rightarrow B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right).$$
3) Далее злоумышленник «делит» вторую строку на её первый элемент $0$ (то есть делает $R_2\leftarrow R_2/0$) и приводит матрицу к виду, где вторая строка якобы становится ненулевой, после чего утверждает, что детерминант ненулевой и матрица невырождена.
Где здесь недопустимые операции
- Операция $R_2\leftarrow R_2/0$ — деление строки на ноль — не определено. Масштабирование строки умножает детерминант на этот скаляр, но этот скаляр должен быть конечным и отличным от нуля. Деление на ноль — не элементарная допустимая операция и не имеет смысла ни для строк, ни для матриц.
- Нельзя «делить матрицу на ноль» или умножать на обратную к нулевой скалярной величине; нельзя брать обратную к сингулярной матрице. Попытка воспользоваться несуществующим обратным элементом нарушает правила преобразований, сохраняющих детерминант/ранг.
Правильная проверка вырождённости для данной матрицы
- По формуле детерминанта $2\times 2$:
$$\det A=1\cdot 1-1\cdot 1=0.$$ Итого $A$ вырождена.
- По рангу/линейной зависимости: строки одинаковы, значит ранг $\mathrm{rank}A=1<2$ ⇒ матрица вырождена.
- По ядру: ненулевой вектор $(1,-1{)}^T$ удовлетворяет $A(1,-1{)}^T=(0,0{)}^T$, значит нулевой собственный вектор есть, нулевое собственное значение — признак сингулярности.
Краткое резюме: допустимые элементарные операции — перестановка строк (меняет знак детерминанта), прибавление кратного одной строки к другой (детерминант не меняется), умножение строки на ненулевой скаляр (детерминант умножается на этот скаляр). Любые действия «деления на ноль» или использование обращения сингулярной матрицы — недопустимы и именно они делают указанное «доказательство» ложным.