Кратко и по делу.
1) Точечная сходимость.
- Для каждого $x\in [0,1)$ имеем ${\lim }_{n\to \infty }{x}^n=0$.
- Для $x=1$ имеет место ${\lim }_{n\to \infty }{1}^n=1$.
Итого пределная функция
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n=\{\begin{array}{ll}0,& 0\le x<1,\\ 1,& x=1.\end{array}$$ (разрыв в $x=1$).
2) Равномерная сходимость на $[0,1]$.
- Неравномерна: пусть $g_n(x)=|x^n-f(x)|$. Для каждого $n$ ${\sup }_{x\in [0,1]}{g}_n(x)={\sup }_{x\in [0,1)}{x}^n=1$ (супремум равен 1, хотя не достигается), значит $\sup g_n\nrightarrow 0$. Следовательно сходимость неравномерна на всём $[0,1]$.
- На любом отрезке $[0,a]$ с $a\in [0,1)$ сходимость равномерна, так как
$$\underset{x\in [0,a]}{\sup }|x^n-0|=\underset{x\in [0,a]}{\sup }{x}^n=a^n\to 0.$$
3) Предел и интеграл.
- ${\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}\to 0$. Предел функции интегрируемой почти везде равен 0, и ${\int }_0^{1}f=0$ (точка $x=1$ не влияет). По теореме о доминированной сходимости (или прямым вычислением) можно менять предел и интеграл:
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{x}^{n}dx={\int }_0^1\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^{n}dx=0.$$
4) Предел и производная.
- Производные: $f_n^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$ для $x\in (0,1]$. Для фиксированного $x\in (0,1)$ имеем ${\lim }_{n\to \infty }n{x}^{n-1}=0$ (экспоненциальный фактор побеждает линейный), и для $x=1$ $f_n^{\prime }(1)=n\to \infty$. Следовательно производные не сходятся равномерно на $(0,1]$ и тем более на $[0,1]$.
- Предел функции $f$ на $(0,1)$ дифференцируем и $f^{\prime }(x)=0$ для $x\in (0,1)$. На любом $[0,a]$ с $a<1$ имеем равномерную сходимость производных к нулю, т.е. ${\sup }_{x\in [0,a]}n{x}^{n-1}=n{a}^{n-1}\to 0$; тогда по стандартной теореме о покомпонентной дифференцировке можно менять предел и производную на таких отрезках и получать ${\lim }_{n\to \infty }{f}_n^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)=0$ на $[0,a]$. Но на всём $[0,1]$ менять предел и производную нельзя (ведь $f$ разрывна в 1 и $f_n^{\prime }$ не сходятся равномерно).
5) Типичные ошибки.
- Путать точечную и равномерную сходимость: наличие предельной точки, где все $f_n$ принимают то же значение, не даёт равномерности (нужен супремум по всему отрезку).
- Утверждать, что раз все $f_n$ непрерывны, то и предел будет непрерывным: это верно только при равномерной сходимости. Здесь пример прямо опровергает.
- Полагать, что невозможность менять предел и интеграл следует из отсутствия равномерности на всём отрезке — нет: для интерагрирования достаточно доминирования (или равномерной сходимости в интегральном смысле).
- Дифференцирование под знаком предела требует дополнительных условий (обычно: $f_n$ непрерывны, $f_n^{\prime }$ сходятся равномерно на отрезке и $f_n(x_0)$ сходится в одной точке). Отсутствие равномерной сходимости производных или разрыв предела ломают процедуру.
Выводы: точечная сходимость к функции с разрывом в 1; неравномерна на $[0,1]$, но равномерна на любых $[0,a]$, $a<1$; можно менять предел и интеграл (результат 0), нельзя в общем менять предел и производную на всем $[0,1]$, но можно на любых $[0,a]$ с $a<1$.