Обозначим длину стороны ромба как а. Так как ОМ перпендикулярна к плоскости ромба, то треугольник OMA прямоугольный. Также, так как ABCD - ромб, то AM и OC - его диагонали, и следовательно, они равны между собой и равны половине длины диагонали ромба: OC = AM = BD/2 = 2√3 см.

Теперь, найдем длину отрезка OM. Рассмотрим треугольник OBC. Он является прямоугольным, так как BD - диагональ ромба, а BC - его сторона. Имеем BC = а и OB = OC = 2√3 см.

Используем теорему Пифагора для треугольника OBC:
OB^2 + BC^2 = OC^2
(2√3)^2 + a^2 = (16/2)^2
12 + a^2 = 64
a^2 = 52
а = √52 = 2√13 см.

Теперь рассмотрим треугольник OMA. По теореме Пифагора:
OM^2 = OA^2 - AM^2
OM^2 = (OB + BM)^2 - AM^2
OM^2 = (2√3 + a)^2 - (2√3)^2
OM^2 = (2√3 + 2√13)^2 - 12
OM^2 = (2√3)^2 + (2√13)^2 + 22√32√13 - 12
OM^2 = 12 + 52 + 52√3 - 12
OM^2 = 104 + 52√3
OM = √(104 + 52√3) ≈ 10.56 см.

Таким образом, расстояние от точки M до вершины A составляет около 10.56 см.

Для нахождения расстояния от точки M до стороны ВС рассмотрим треугольник OBM.

Так как треугольник OBM также является прямоугольным, можем использовать теорему Пифагора:
BM^2 = OB^2 - OM^2
BM^2 = 2√3^2 - 10.56^2
BM^2 = 12 - 111.67
BM ≈ 2.47 см.

Таким образом, расстояние от точки М до стороны BC составляет около 2.47 см.

Для доказательства того, что BD перпендикулярна MA, рассмотрим треугольники OAM и OBD.

Треугольник OAM прямоугольный, так как диагонали пересекаются под углом 90 градусов в квадрате. Из предыдущего расчета мы уже знаем, что AM = BD/2 = 2√3 см.

Треугольник OBD также прямоугольный, так как диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. Известно, что BD = сторона квадрата, а значит BD = а.

Теперь, рассмотрим угол AOM. Так как треугольник OAM прямоугольный и AM = BD/2, то угол OAM равен 45 градусов.

Аналогично, угол BOD также равен 45 градусов, так как треугольник OBD прямоугольный.

Из того, что углы OAM и BOD равны, следует, что прямые MA и BD перпендикулярны между собой.

Таким образом, утверждение доказано.