Пусть у нас есть треугольник ABC с сторонами a, b и c, где a и b образуют угол с вершиной C.

Рассмотрим векторы v и w, где v - это вектор, соединяющий вершины A и C, а w - это вектор, соединяющий вершины B и C. Тогда скалярное произведение этих векторов равно v w = |v| |w| * cos$уголC$.

Так как векторы v и w представляют собой стороны треугольника ABC, то длины этих векторов равны сторонам треугольника: |v| = a, |w| = b.

Таким образом, скалярное произведение векторов v и w можно записать в виде a b cos$уголC$.

Теперь рассмотрим квадрат длины стороны c: c^2 = $v+w$^2 = v^2 + w^2 + 2v * w.

Так как v^2 = |v|^2 = a^2 и w^2 = |w|^2 = b^2, мы можем выразить квадрат стороны c через скалярное произведение и угол между сторонами a и b:

c^2 = a^2 + b^2 + 2ab * cos$уголC$.

Таким образом, мы доказали теорему косинусов для треугольника ABC, что квадрат длины третьей стороны равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.