Обозначим положение точки на гипотенузе как x см от одного из катетов.

Тогда расстояния от точки до катетов будут равны 12 - x и 16 - x.

Сумма квадратов расстояний от точки до катетов равна:
f(x) = (12 - x)^2 + (16 - x)^2 = 144 - 24x + x^2 + 256 - 32x + x^2 = 2x^2 - 56x + 400.

Для нахождения минимума этой функции, найдем производную и приравняем ее к нулю:
f'(x) = 4x - 56 = 0,
4x = 56,
x = 14.

Итак, при x = 14 см сумма квадратов расстояний от точки до катетов будет наименьшей.

Расстояние от этого положения точки до вершины прямого угла равно:
sqrt(12^2 + 16^2) = sqrt(144 + 256) = sqrt(400) = 20 см.