Для нахождения производной Y=4^tg(sqrt(x)) можно воспользоваться chain rule (правилом цепочки).

Сначала найдем производную функции вида f(tg(sqrt(x))) = 4^tg(sqrt(x)).

Найдем производную внешней функции: f(t) = 4^t
f'(t) = ln(4) * 4^t

Найдем производную внутренней функции: g(x) = tg(sqrt(x))
g'(x) = (sec(sqrt(x)))^2 * (1/2sqrt(x))

Теперь применим chain rule:
Y' = f'(tg(sqrt(x))) * g'(sqrt(x))

Y' = ln(4) 4^tg(sqrt(x)) (sec(sqrt(x)))^2 * (1/2sqrt(x))

Таким образом, производная функции Y=4^tg(sqrt(x)) равна ln(4) 4^tg(sqrt(x)) (sec(sqrt(x)))^2 * (1/2sqrt(x)).