Данное уравнение можно записать в виде:

x^2 + x = y^2 + y

Преобразуем его:

x^2 + x - y^2 - y = 0
(x + y)^2 - (y - x) = 0
(x + y + 1)(x - y) = 0

Отсюда получаем два уравнения:

1) x + y + 1 = 0
2) x - y = 0

Из уравнения (2) получаем, что x = y. Подставляя это в уравнение (1), получаем x + x + 1 = 0, что невозможно для натуральных чисел.

Следовательно, уравнение x(x+1) = y(y+1) не имеет натуральных решений.