Предположим, что данное уравнение не имеет корней в интервале [-1;1]. Тогда дискриминант должен быть строго меньше нуля, чтобы были только комплексные корни.

Дискриминант уравнения равен D=b^2-4ac. Подставим условие a+c=b/2021 и получим D=b^2-4a(b/2021)=b^2-(4/2021)b=b(b-4/2021).

Если предположить, что уравнение не имеет корней в интервале [-1;1], то дискриминант должен быть строго меньше нуля: b(b-4/2021)<0.

Поскольку ни одно из чисел a,b,c не равно 0, то b не равно 0 и мы можем разделить обе части неравенства на b, сохраняя знак: b-4/2021<0. По условию a+c=b/2021, откуда c=b/2021-a.

Подставим это выражение в неравенство: b-4/2021<b-(4/2021-a), что равносильно 0<-a+4/2021.

Поскольку a>0, то это неравенство невозможно, следовательно, дискриминант должен быть больше либо равен нулю, т.е. корень уравнения должен быть в интервале [-1;1].

Таким образом, мы доказали, что при данных условиях уравнение ax^2+bx+c=0 имеет корень в интервале [-1;1].