Для доказательства того, что уравнение ln$x$ + x^2 - 4 = 0 имеет хотя бы одно решение, рассмотрим функцию f$x$ = ln$x$ + x^2 - 4.

Покажем, что f$x$ стремится к минус бесконечности при x -> 0.
При x -> 0 ln$x$ стремится к минус бесконечности, а x^2 стремится к 0, следовательно, f$x$ -> -∞ при x -> 0.

Покажем, что f$x$ стремится к плюс бесконечности при x -> +∞.
При x -> +∞ ln$x$ стремится к плюс бесконечности, а x^2 также стремится к плюс бесконечности, следовательно, f$x$ -> +∞ при x -> +∞.

Так как f$x$ непрерывна на интервале $0,+\infty$ и принимает значения от минус бесконечности до плюс бесконечности, по теореме промежуточных значений существует х0 в интервале $0,+\infty$, для которого f$х0$ = 0.

Таким образом, уравнение ln$x$ + x^2 - 4 = 0 имеет хотя бы одно решение x0 на интервале $0,+\infty$.