Для начала раскроем косинус двойного угла с помощью формулы:

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) = 2cos^2(x) - 1

Теперь подставим это значение в выражение:

2cos^2(x) - 1 + tan^2(x) * (2cos^2(x) - 1) - 1 = -tan^2(x)

Упростим:

2cos^2(x) - 1 + 2cos^2(x)tan^2(x) - tan^2(x) - 1 = -tan^2(x)

4cos^2(x)tan^2(x) - tan^2(x) = tan^2(x) - tan^2(x)

Таким образом, тождество доказано.