Для начала разложим дробь на части:

(X^2 - x + 14) / ((x - 4)^3 * (x - 2))

= A / (x - 4) + B / (x - 4)^2 + C / (x - 4)^3 + D / (x - 2)

= (A(x - 2)(x - 4)^2 + B(x - 2)(x - 4) + C(x - 2) + D(x - 4)^3) / ((x - 4)^3 * (x - 2))

= (Ax^2 - 14A + Bx^2 - 6Bx + 2B + Cx - 2C + Dx^3 - 4Dx^2 + 12Dx - 64D) / ((x - 4)^3 (x - 2))

Сравниваем числители с исходной дробью и приравниваем коэффициенты:

A + B + D = 1
-6B - 2C + 12D = -1
14A + 2B - 64D = 0
-4D = 0

Отсюда получаем:

D = 0
A = 4/3
B = -1/3
C = 0

Исходный интеграл теперь становится:

∫(4/3)/(x - 4)dx + ∫(-1/3)/(x - 4)^2dx

= 4/3 ln|x - 4| - 1/3 1/(x - 4) + C

Ответ: 4/3 ln|x - 4| - 1/3 1/(x - 4) + C.