Для доказательства того, что функция F(x) = x^4 - 2x^2 + 6 является первообразной функции f(x) = 4x^3 - 4x на всем множестве действительных чисел (-∞; +∞), достаточно показать, что производная функции F(x) равна функции f(x).

Для этого найдем производную функции F(x):
F'(x) = d/dx (x^4 - 2x^2 + 6) = 4x^3 - 4x.

Таким образом, мы видим, что F'(x) = f(x) для всех x из множества всех действительных чисел (-∞; +∞).

Следовательно, функция F(x) = x^4 - 2x^2 + 6 является первообразной функции f(x) = 4x^3 - 4x на всем множестве действительных чисел (-∞; +∞).