Для того чтобы найти путь, проделанный телом за первые 10 секунд, нужно проинтегрировать скорость по времени от 0 до 10 секунд.

Итак, у нас дана скорость: ν=√(1+2t) м/с.

Интегрируем скорость по времени:

∫(√(1+2t)) dt = (1/3)*(1+2t)^(3/2) + C,

где С - произвольная постоянная.

Теперь найдем значение этого выражения в точках 0 и 10:

S(10) - S(0) = (1/3)(1+210)^(3/2) - (1/3)(1+20)^(3/2) = (1/3)(1+20)^(3/2) - (1/3)(1)^(3/2) = (1/3)21^(3/2) - 1/3 = 7√(21) - 1/3 ≈ 16.716 м.

Таким образом, путь, проделанный телом за первые 10 секунд после начала движения, составляет примерно 16.716 метров.