Для того чтобы найти остаток от деления числа 5555^7777+7777^5555 на 13, можно воспользоваться малой теоремой Ферма.

Сначала найдем остатки от деления чисел 5555 и 7777 на 13:

5555 mod 13 = 1
7777 mod 13 = 5

Теперь заметим, что (a^b + c^d) mod n = ((a mod n)^b + (c mod n)^d) mod n. Поэтому:

(5555^7777 + 7777^5555) mod 13 = (1^7777 + 5^5555) mod 13 = (1 + 7) mod 13 = 8

Итак, остаток от деления числа 5555^7777+7777^5555 на 13 равен 8.