Для того чтобы уравнение имело один корень, необходимо чтобы у него была кратность 2. Поскольку один корень, это корень с кратностью 2, то значит вторая производная должна быть равна 0 в этой точке.

Вычислим вторую производную уравнения:
f(x) = x^3 + 3x^2 - 45x + n
f'(x) = 3x^2 + 6x - 45
f''(x) = 6x + 6

Подставляем корень второй производной и приравниваем к 0:
6x + 6 = 0
6x = -6
x = -1

Производная равна 0 в точке x = -1. Значит, при n = f(-1) уравнение будет иметь один корень:
-1^3 + 3(-1)^2 - 45(-1) + n = 0
-1 + 3 + 45 + n = 0
47 + n = 0
n = -47

Таким образом, наименьшем натуральным значением n будет 47.