Данное дифференциальное уравнение является линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами. Его можно переписать в виде характеристического уравнения:

r^2 - 6r + 9 = 0

(r - 3)^2 = 0

Отсюда получаем характеристический корень r = 3 с кратностью 2.

Чтобы найти частное решение, мы можем использовать метод вариации постоянных. Поскольку дано, что y=3 и y'=-6 при x=0, мы можем записать общее решение дифференциального уравнения в виде:

y(x) = c1e^(3x) + c2x*e^(3x)

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Используя начальные условия y(0) = 3 и y'(0)=-6, найдем постоянные c1 и c2:

y(0) = c1e^0 + c20*e^0 = c1 = 3

y'(x) = 3e^(3x) + 3xe^(3x)

y'(0) = 3 + 0 = 3 = -6

3e^3x = -6

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения y"-6y'+9y=0 при y=3 и y'=-6 при x=0 равно:

y(x) = 3*e^(3x)