Пусть длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию и равны a, a + d, a + 2d, где а – первый член прогрессии, а d – разность прогрессии.

Так как разность прогрессии не равна нулю, то длины сторон не могут быть равными, а значит a, a + d и a + 2d – различные числа.

Пусть углы треугольника соответственно равны α, β и γ.

Так как углы треугольника суммируются в 180°, то α + β + γ = 180°.

Пусть угол γ больше 60°. Тогда γ > 60°.

Так как стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, то стороны соответственно являются a, a + d и a + 2d.

По косинусной теореме: (a + d)^2 = a^2 + (a + 2d)^2 - 2a(a + 2d) * cos γ

(d)^2 = a^2 + (a + 2d)^2 - 2a(a + 2d) * cos γ

(d)^2 = a^2 + a^2 + 4ad + 4d^2 - 2a^2 - 4ad * cos γ

(d)^2 = 0 + 4d^2 - a^2 - 4ad * cos γ

4d^2 = 4d^2 - a^2 - 4ad * cos γ

a^2 = 4ad * cos γ

a = 4d * cos γ

a - это первый член арифметической прогрессии, а – 4d * cos γ.

Так как a > 0, то 4d * cos γ > 0.

Так как d > 0, то cos γ > 0.

Из этого следует, что γ < 90° (так как косинус положителен в 1 и 4 четверти).

Итак, мы доказали, что только один угол этого треугольника больше 60°.