1) sin²$\pi /8$ - cos²$\pi /8$ У нас дано, что ctg$\pi /8$ = -1
Из этого можем выразить sin$\pi /8$ и cos$\pi /8$:
cos$\pi /8$ = 1 / √$1+ct{g}^2(\pi /8)$ = 1 / √$1+1$ = 1 / √2
sin$\pi /8$ = ctg$\pi /8$ cos$\pi /8$ = -1 1 / √2 = -1 / √2

Теперь можем подставить значения sin$\pi /8$ и cos$\pi /8$:
sin²$\pi /8$ - cos²$\pi /8$ = $-1/\surd 2$² - $1/\surd 2$² = 1/2 - 1/2 = 0

2) sin$15$cos$15$ / sin²$15$ - cos²$15$ Заметим, что sin$2x$ = 2sin$x$cos$x$, тогда:
sin$15$cos$15$ = sin$30$ / 2 = 1 / 2
Также sin$30$ = 1/2 и cos$30$ = √3 / 2

Теперь можем подставить все в наше выражение:
$1/2$ / $1/2$² - $\surd 3/2$² = 1 / 2 / 1/4 - 3/4 = 1 / 2 / 1/4 - 3/4 = 1/2 / 1/4 - 3/4 = 4 / 2 $1-3$ = 4 / 2 * $-2$ = -4

3) $sin(2\alpha )-cos(2\alpha )+2$ / sin²α - 2cos²α
Мы знаем, что ctgα = -2, тогда:
cosα/sinα = -2
cos²α = 4sin²α
cos$2\alpha$ = 1 - 2sin²α
sin$2\alpha$ = 2sinα cosα = 2sinα / $-2$ = -sinα

Теперь можем подставить все значения:
$sin(2\alpha )-cos(2\alpha )+2$ / sin²α - 2cos²α = $-sin\alpha -(1-2si{n}^2\alpha )+2$ / sin$\alpha$² - 2 4sin²α = $-sin\alpha -1+2si{n}^2\alpha +2$ / sin²α - 8sin²α = $2si{n}^2\alpha -sin\alpha -1$ / sin²α - 8sin²α = $2sin\alpha -sin\alpha -1$ / sin²α - 8sin²α = $sin\alpha -1$ / sin²α - 8sin²α = sinα / sin²α - 1 / sin²α - 8sin²α = ctg$\alpha$ - csc$\alpha$ - 8 / csc²$\alpha$ = -2 - 1 / sin$\alpha$ - 8 / 1 / sin$\alpha$ = -3 - 8sin²α = -3 + 8 1 / 4 = -1