Для нахождения суммы первых девяти членов арифметической прогрессии, нам необходимо знать формулу для суммы первых n членов прогрессии.

Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии:
S_n = n * (a_1 + a_n) / 2,
где S_n - сумма первых n членов, a_1 - первый член прогрессии, a_n - n-й член прогрессии.

Мы знаем, что сумма четвертого и шестого членов прогрессии равна 14. Таким образом, мы можем записать некоторые уравнения:
a_1 + 3d + a_1 + 5d = 14,
2a_1 + 8d = 14,
a_1 + 4d = 7.

Теперь мы можем использовать данное уравнение для нахождения первого члена (a_1) и разности (d) арифметической прогрессии. После этого мы можем использовать формулу для нахождения суммы первых девяти членов.