Для нахождения производной данной функции y=( (1+x^2) ) ^ arccos x, воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепного правила).

y' = (arccos(x))' ((1+x^2)^(arccos(x) - 1)) ((1+x^2)')
y' = -1/√(1-x^2) ((1+x^2)^(arccos(x) - 1)) 2x arccos(x) ((1+x^2)^0)
y' = -2x arccos(x) (1+x^2)^(arccos(x) - 1) / √(1-x^2)

Для нахождения производной функции y=f(x), заданной параметрически формулами x=x(t), y=y(t), необходимо воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции и правилом дифференцирования функции, заданной параметрически.

Найдем производную функции y по x, используя формулу:

dy/dx = dy/dt / dx/dt

dx/dt = d(3ln^2 t)/dt = 6ln t 1/t = 6ln t / t
dy/dt = d(√(t-t^2))/dt = (1/2)(t-t^2)^(-1/2) (1-2t) = (1-2t) / (2√(t-t^2))

Теперь выразим производную y по x:

dy/dx = ((1-2t) / (2√(t-t^2))) / (6ln t / t)
dy/dx = ((1-2t) / (2√(t-t^2))) * (t / (6ln t))
dy/dx = (t - 2t^2) / (12ln t√(t-t^2))

Таким образом, получаем производную функции y по x: (t - 2t^2) / (12ln t√(t-t^2))