Для начала построим треугольник АВС. Поскольку прямоугольный треугольник, то можно выразить длины его сторон с помощью катетов. Пусть катеты равны a и b, тогда гипотенуза c = √(a^2 + b^2).

Так как ВС = В1В = ВВ1 = 6√2, то стороны треугольника АВС равны:

АС = 6
СВ = 6√2
AB = 6√2

Теперь найдем площадь треугольника АВС:

S(АВС) = 0.5 AB AC = 0.5 6√2 6 = 18

Теперь найдем середины ребер ВС, В1В и А1B1.

Середина ВС - М, середина В1В - N, середина А1B1 - K.

Так как все эти точки делят стороны пополам, то МС = 3, NB = 3√2, А1К = 3√2.

Теперь проведем плоскость, проходящую через середины ребер ВС, В1В и А1B1. Получится параллелограмм.

Площадь параллелограмма можно найти как модуль векторного произведения двух его сторон. В данном случае возьмем вектора CM и NА1:

CM = (0, 3, 3√2)
NA1 = (6, 6√2, -3)

Теперь найдем векторное произведение:

CM x NA1 = i(3 (-3√2) - 3 6√2) - j(0 - 3 6) + k(0 + 3 6) = i(-27√2 - 18√2) + k(18) = i(-45√2) + k(18)

S1 = |CM x NA1| = sqrt((-45√2)^2 + 18^2) = sqrt(4050 - 324) = sqrt(3726) = 61√6

Итак, S1 = 61√6.