Для исследования функции $y=x^3-3x$ с помощью производной найдем сначала производную данной функции.

$$y^{\prime }=\frac{d}{dx}(x^3)-\frac{d}{dx}(3x)=3x^2-3$$

Теперь проанализируем поведение функции по ее производной:

Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю и найдя корни уравнения:

$$3x^2-3=0$$ $$3x^2=3$$ $$x^2=1$$ $$x=\pm 1$$

Таким образом, функция имеет точки экстремума в точках $x=-1$ и $x=1$.

Исследуем возрастание и убывание функции. Для этого анализируем знак производной на интервалах между экстремумами и за их пределами:на интервале $(-\infty ,-1)$ производная ( y' < 0 ), что означает убывание функции,на интервале $(-1,1)$ производная ( y' > 0 ), что означает возрастание функции,на интервале $(1,+\infty )$ производная ( y' > 0 ), что также означает возрастание функции.Найдем точку перегиба функции, приравняв к нулю вторую производную:

$$y^{\prime \prime }=\frac{d^2}{d{x}^2}(y^{\prime })=\frac{d}{dx}(3x^2-3)=6x$$

$$6x=0$$ $$x=0$$

Таким образом, функция имеет точку перегиба в точке $x=0$.

Итак, исследование функции $y=x^3-3x$ с помощью производной позволяет нам найти точки экстремума, точку перегиба и определить возрастание и убывание функции на различных интервалах.