Для вычисления площади треугольника с вершинами в точках A(3; -13; 8), B(4; -11; 4) и C(1; -9; 10) нам необходимо найти длины его сторон и высоту.

Найдем длины сторон треугольника:
AB = √((4 - 3)^2 + (-11 + 13)^2 + (4 - 8)^2) = √2^2 + 2^2 + (-4)^2 = √4 + 4 + 16 = √24
BC = √((1 - 4)^2 + (-9 + 11)^2 + (10 - 4)^2) = √(-3)^2 + 2^2 + 6^2 = √9 + 4 + 36 = √49 = 7
AC = √((1 - 3)^2 + (-9 + 13)^2 + (10 - 8)^2) = √(-2)^2 + 4^2 + 2^2 = √4 + 16 + 4 = √24

Найдем полупериметр треугольника:
p = (AB + BC + AC) / 2 = (√24 + 7 + √24) / 2 = (2√24 + 7) / 2 = √24 + 3.5

Теперь найдем площадь треугольника по формуле Герона:
S = √(p (p - AB) (p - BC) (p - AC)) = √(√24 (√24 + 3.5 - √24) (√24 + 3.5 - 7) (√24 + 3.5 - √24)) = √(√24 3.5 3.5 3.5) = √(24 3.5 * 3.5) = √294 = 17.15

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 17.15 условным единицам.