Докажем это через метод математической индукции.

База:

При n = 1:

(3 * 1 - 1)^2 - 1 = (3 - 1)^2 - 1 = 2^2 - 1 = 3

3 кратно 3.

Предположение:

Пусть для некоторого натурального k выполняется, что выражение (3k - 1)^2 - 1 кратно 3.

Шаг индукции:

Докажем для k + 1:

(3(k + 1) - 1)^2 - 1 = (3k + 3 - 1)^2 - 1 = (3k + 2)^2 - 1 = 9k^2 + 12k + 4 - 1 = 9k^2 + 12k + 3

Заметим, что 9k^2, 12k кратны 3. Следовательно, 9k^2 + 12k + 3 кратно 3.

Таким образом, мы доказали, что при любом натуральном значении n значение выражения (3n - 1)^2 - 1 кратно 3.