Докажем это по индукции.
База индукции: при n = 1, выражение принимает вид 1/1*2 = 1/2 = 1/2. Следовательно, база индукции выполнена.
Предположение индукции: пусть утверждение верно для некоторого натурального k, т.е. 1/12 + 1/23 + ... + 1/k(k+1) = k/(k+1).
Шаг индукции: Докажем, что утверждение верно и для k + 1:1/12 + 1/23 + ... + 1/(k+1)(k+2) = k/(k+1) + 1/(k+1)(k+2) = k(k+2)/(k+1)(k+2) + 1/(k+1)(k+2) = (k^2 + 2k + 1)/(k+1)(k+2) = (k + 1)^2/(k+1)(k+2) = k + 1/(k+2).
Итак, утверждение верно и для k + 1, что завершает доказательство.
Таким образом, 1/12 + 1/23 + ... + 1/n(n+1) = n/n+1.
Докажем это по индукции.
База индукции: при n = 1, выражение принимает вид 1/1*2 = 1/2 = 1/2. Следовательно, база индукции выполнена.
Предположение индукции: пусть утверждение верно для некоторого натурального k, т.е. 1/12 + 1/23 + ... + 1/k(k+1) = k/(k+1).
Шаг индукции: Докажем, что утверждение верно и для k + 1:
1/12 + 1/23 + ... + 1/(k+1)(k+2) = k/(k+1) + 1/(k+1)(k+2) = k(k+2)/(k+1)(k+2) + 1/(k+1)(k+2) = (k^2 + 2k + 1)/(k+1)(k+2) = (k + 1)^2/(k+1)(k+2) = k + 1/(k+2).
Итак, утверждение верно и для k + 1, что завершает доказательство.
Таким образом, 1/12 + 1/23 + ... + 1/n(n+1) = n/n+1.