a) Построим график функции y=(4(x-4)(x+4)):(x(16-x^2)):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def func(x):
return (4*(x-4)*(x+4))/(x*(16-x**2))
x = np.linspace(-10, 10, 400)
y = func(x)
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label='y=(4*(x-4)(x+4)):(x*(16-x^2))')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

Чтобы найти количество значений параметра p, при каждом из которых уравнение (4(x-4)(x+4)):(x(16-x^2))=p не имеет корней, нужно найти значения параметра p, при которых знаменатель равен 0. Для этого найдем все значения x, при которых x=0 или 16-x^2=0. Таким образом, уравнение не будет иметь корней, когда x=0, x=4 или x=-4.

Следовательно, k=3, так как при трех значениях п уравнение не имеет решений.

Теперь найдем наибольшее значение параметра p0. Для этого найдем, при каком значении x знаменатель достигает минимума. Для этого продифференцируем знаменатель и приравняем к нулю:

d/dx (x*(16-x^2)) = 16 - 3x^2 = 0

3x^2 = 16

x^2 = 16/3

x = ±√(16/3)

x ≈ ±2.31

Таким образом, p0 достигает максимума при x равным ±2.31.
Подставив это значение x обратно в функцию, найдем значение p0:

p0 = (4(±2.31-4)(±2.31+4))/((±2.31)*((16-(±2.31)^2))

p0 ≈ 1.65

Теперь можем найти произведение k×p0:

k×p0 = 3 * 1.65 = 4.95

Ответ: 4.95

b) Построим график функции y=(4(x-4)(x+4)):(x(16-x^2)):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def func(x):
return (4*(x-4)*(x+4))/(x*(16-x**2))
x = np.linspace(-10, 10, 400)
y = func(x)
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label='y=(4*(x-4)(x+4)):(x*(16-x^2))')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

Используя график, нам необходимо найти сумму всех положительных значений параметра m, при которых система уравнений имеет единственное решение.

Обратим внимание, что для единственного решения уравнения y=x+m необходимо, чтобы графики функций y=(4(x-4)(x+4))/(x(16-x^2)) и y=x+m имели всего одну общую точку. По графику видно, что это происходит при значениях m, при которых график y=x+m касается графика функции y=(4(x-4)(x+4))/(x(16-x^2)).

Исследуем точки касания графиков двух функций, это происходит при значениях x, когда производные функций совпадают:

d/dx ((4(x-4)(x+4))/(x(16-x^2))) = 1

Решив эту задачу, мы найдем значения x, в которых производная функции y=(4(x-4)(x+4))/(x(16-x^2)) равна 1.

Затем, найдем соответствующие значения m для этих x, подставив x обратно в уравнение y=x+m. Найденные положительные значения m сложим.

Это и будет сумма всех положительных значений параметра m, при которых система уравнений имеет единственное решение.