Для нахождения производной функции (3^{\frac{1}{\sin^2 x}}) используем цепное правило дифференцирования и правило дифференцирования степенной функции.

Пусть (y = 3^{\frac{1}{\sin^2 x}}). Затем возьмем логарифм от обеих сторон уравнения:

(\ln y = \frac{1}{\sin^2 x} \ln 3).

Теперь продифференцируем обе стороны уравнения по переменной (x):

(\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{-2}{(\sin x)^3} \cos x \ln 3).

Теперь найдем производную функции (y = 3^{\frac{1}{\sin^2 x}}):

(\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{-2 \cos x \ln 3}{(\sin x)^3}).

Подставим обратно значение функции (y = 3^{\frac{1}{\sin^2 x}}):

(\frac{dy}{dx} = 3^{\frac{1}{\sin^2 x}} \cdot \frac{-2 \cos x \ln 3}{(\sin x)^3}).

Таким образом, производная функции (3^{\frac{1}{\sin^2 x}}) равна (3^{\frac{1}{\sin^2 x}} \cdot \frac{-2 \cos x \ln 3}{(\sin x)^3}).