1) Для доказательства неравенства (1+а1)(1+а2).. (1+an) > 2n воспользуемся неравенством ГМ-АМ (среднее геометрическое больше среднего арифметического).

У нас дано, что а1а2..ан = 1.

Прологарифмируем обе части неравенства и получим:

ln[(1+а1)(1+а2)..(1+an)] > ln(2n)

Раскроем левую часть неравенства:

ln(1+а1) + ln(1+а2) + ... + ln(1+an) > ln(2n)

Теперь применим неравенство ГМ-АМ:

(ln(1+а1) + ln(1+а2) + ... + ln(1+an))/n > ln(2)

ln[(1+а1)(1+а2)...*(1+an)]/n > ln(2)

ln[(1+а1)(1+а2)...(1+an)] > nln(2)

(1+а1)(1+а2)...(1+an) > e^(nln(2)) = 2^n

Таким образом, мы получаем, что (1+а1)(1+а2).. (1+an) > 2n.

2) Пусть точка пересечения медиан равностороннего треугольника также является центром тяжести и делит медиану в отношении 2:1.

Поскольку медиана равностороннего треугольника также является высотой и биссектрисой, то точка пересечения медиан делит сторону треугольника в отношении 2:1.

Таким образом, отрезок, проведенный через точку пересечения медиан и параллельный одной из сторон, имеет длину, равную 4 см.