Для начала найдем значения функции на границах интервала:

При x = -1:
y = $-1$^5 - 5$-1$^4 + 5$-1$^3 + 1 = -1 - 5 - 5 + 1 = -10

При x = 2:
y = 2^5 - 52^4 + 52^3 + 1 = 32 - 80 + 40 + 1 = -7

Теперь найдем все стационарные точки функции, вычислим их значения и выберем среди них максимальное и минимальное значение.

Для этого найдем производную функции:
y' = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2

Теперь найдем производную второго порядка и приравняем к нулю, чтобы найти точки экстремума:
y'' = 20x^3 - 60x^2 + 30x

20x^3 - 60x^2 + 30x = 0
По факторизации этого уравнения получаем:
20x$x^2-3x+3$ = 0

Таким образом, x = 0 или x = 1.5 ± 0.866 $приблизительно$.

Подставим найденные значения x в функцию, чтобы найти соответствующие значения y.
Для x = 0: y = 1
Для x ≈ 0.634: y ≈ 0.84
Для x ≈ 1.366: y ≈ 1.16
Для x = 2.598: y ≈ 0.154

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке $$-1;2$$ равно 1, а наименьшее значение равно -10.