Для доказательства того, что выражение (x^2 - 14x + 51) принимает положительные значения при всех значениях (x), нужно показать, что дискриминант этого квадратного трёхчлена отрицательный.

Дискриминант выражается формулой (D = b^2 - 4ac), где (a = 1), (b = -14), (c = 51).

Подставим значения коэффициентов в формулу дискриминанта:
[D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 51 = 196 - 204 = -8]

Таким образом, дискриминант отрицательный ((D < 0)), что означает, что уравнение (x^2 - 14x + 51) не имеет действительных корней, следовательно, выражение будет принимать только положительные значения при всех значениях (x).