Для нахождения производной данной функции $e^x\cdot \cot x$, нужно применить правило производной произведения функций.

Для удобства дальнейших вычислений, можно переписать функцию в виде:

$$y=e^x\cdot \cot x=e^x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}$$

Теперь найдем производную:

$$y^{\prime }=(e^x{)}^{\prime }\cdot \cot x+e^x\cdot (\cot x{)}^{\prime }$$

Для вычисления производной $(e^x{)}^{\prime }=e^x$, а также производной $(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$, так как $\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{\cos x}{\sin x}$ и $\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{\cos x}{\sin x}$.

Подставляем все найденные значения:

$$y^{\prime }=e^x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}+e^x\cdot \left(-\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}\right)$$

Упростим:

$$y^{\prime }=e^x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}-e^x\cdot \frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}$$

$$y^{\prime }=e^x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}-e^x\cdot \frac{\cos x\cdot \cos x}{\sin x\cdot \sin x}$$

$$y^{\prime }=e^x\cdot \frac{\cos x\cdot \sin x-\cos x\cdot \cos x}{\sin x\cdot \sin x}$$

$$y^{\prime }=e^x\cdot \frac{\cos x\cdot \sin x-{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}$$

Таким образом, производная функции $e^x\cdot \cot x$ равна:

$$y^{\prime }=e^x\cdot \frac{\cos x\cdot \sin x-{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}$$