Чтобы доказать, что функция f(x) = 4x - 3sin(x) возрастает на всей числовой прямой, нужно показать, что ее производная f'(x) больше или равна нулю для всех x.

Вычислим производную функции f(x):

f'(x) = 4 - 3cos(x)

Теперь найдем условие, при котором f'(x) больше или равно нулю:

4 - 3cos(x) >= 0
3cos(x) <= 4
cos(x) <= 4/3

Так как значение косинуса ограничено от -1 до 1, то неравенство cos(x) <= 4/3 выполняется для всех x.

Следовательно, производная функции f(x) положительна или равна нулю для любого x, что означает, что функция f(x) = 4x - 3sin(x) возрастает на всей числовой прямой.