Для решения данной задачи обратимся к теореме о касательных к окружности.

Пусть точки касания окружности с четырьмя сторонами четырехугольника обозначим как E, F, G и H. Проведем радиусы окружности к точкам касания:

AE = AF = x (радиус окружности)
BF = BG = y
CG = CH = z
DH = DE = t

Так как AB и CD - хорды окружности, проведем радиусы, перпендикулярные данным хордам:

AE ⊥ CD, DH ⊥ AB

Из этого получаем, что треугольники AED и HDC подобны треугольникам ABC и ADC. Пользуясь подобиями, составим систему уравнений:

x + z = 37 (1)
t + y = 8 (2)
x + y = z + t (3)
x + y + z + t = S (S - периметр четырехугольника)

Так как AB и CD - диаметры окружности, то периметр четырехугольника равен сумме всех четырех сторон, т.е. S = 55.

Подставляем значение S в уравнение (4) и находим значения x, y, z и t:

x + y + z + t = 55
x + y + z + t = S

Решая систему уравнений, получаем ответ:

x = 3, y = 5, z = 34, t = 3

Следовательно, четвертая сторона четырехугольника равна:

DE = 3 + 5 + 34 + 3 = 45

Ответ: 45.