Для нахождения условных экстремумов данной функции, воспользуемся методом множителей Лагранжа.

Сначала запишем уравнение ограничения:
x^2 + y^2 = 1

Теперь запишем функцию Z с множителем Лагранжа λ:
L$x,y,\lambda$ = 7x^2 + 4xy + 4y^2 + λ$x^2+y^2-1$

Найдем частные производные по x, y и λ:
∂L/∂x = 14x + 4y + 2λx
∂L/∂y = 4x + 8y + 2λy
∂L/∂λ = x^2 + y^2 - 1

Теперь приравняем производные к нулю и решим систему уравнений:
14x + 4y + 2λx = 0
4x + 8y + 2λy = 0
x^2 + y^2 = 1

Из первого уравнения получаем:
x$14+2\lambda$ + 4y = 0
x = -4y / $14+2\lambda$ $\ast$

Из второго уравнения получаем:
y$4+2\lambda$ + 8y = 0
y = 0 или λ = -2

Если y = 0, то x = ±1
Если λ = -2, то из $\ast$ получаем:
x = ±1

Итак, найденные точки, в которых может находиться условный экстремум: $1,0$, $-1,0$, $0,1$, $0,-1$.

Теперь найдем значение функции в этих точках:
Z$1,0$ = 71^2 + 410 + 40^2 = 7
Z$-1,0$ = 7$-1$^2 + 4$-1$0 + 40^2 = 7
Z$0,1$ = 70^2 + 401 + 41^2 = 4
Z$0,-1$ = 70^2 + 40$-1$ + 4$-1$^2 = 4

Значит, минимальное значение функции Z равно 4, а максимальное значение функции Z равно 7.