Для того, чтобы уравнение x^2 + px + p + 3 = 0 имело ровно один корень, его дискриминант должен быть равен нулю. Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 равен D = b^2 - 4ac.

В данном случае a = 1, b = p, c = p + 3. Подставим их в формулу для дискриминанта:

D = p^2 - 41(p + 3) = p^2 - 4p - 12.

Чтобы уравнение имело ровно один корень, его дискриминант должен быть равен нулю:

p^2 - 4p - 12 = 0.

Решим это квадратное уравнение:

D = 4^2 - 41(-12) = 16 + 48 = 64.

p1,2 = (4 ± √64)/2 = (4 ± 8)/2.

Таким образом:

p1 = (4 + 8)/2 = 12/2 = 6,
p2 = (4 - 8)/2 = -4/2 = -2.

Ответ: уравнение x^2 + px + p + 3 = 0 имеет ровно один корень при p = 6 или p = -2.