Для решения данной задачи нам необходимо найти катеты данного прямоугольного треугольника.

Пусть a и b - длины катетов треугольника, а c - длина гипотенузы.

Так как периметр треугольника равен 84 см, то a + b + c = 84.

Также известно, что c = 37.

Подставим данные в формулу: a + b + 37 = 84.

a + b = 47.

Нам нужно найти площадь треугольника, которая равна S = (a * b) / 2.

Так как формула для площади треугольника S = (a b) / 2, то зная что a + b = 47 и c = 37, можем записать a b = S * 2.

Далее решим систему уравнений:

a + b = 47,

a b = S 2.

Заметим, что a и b - корни квадратного уравнения x^2 - 47x + S * 2 = 0.

Зная длину катетов a и b, а также длину гипотенузы c, можем воспользоваться формулой Пифагора: a^2 + b^2 = c^2.

Подставим значения a, b и c в формулу и найдем площадь треугольника:

a^2 + b^2 = 37^2.

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна 420 кв. см.