Для исследования функции f(x)=x^5+4x^2-5 находим производные первого и второго порядков:

f'(x) = 5x^4 + 8x
f''(x) = 20x^3 + 8

Находим точки экстремума, приравняв первую производную к нулю:

5x^4 + 8x = 0
x(5x^3 + 8) = 0
x = 0 или x = -2^(1/3)

Проверяем знаки производной в окрестности найденных точек. Для этого выберем произвольные значения x: x1=-1, x2=-1/2, x3=1, x4=3

f'(-1) = 5 - 8 < 0
f'(-1/2) = 5/16 - 4 > 0
f'(1) = 5 + 8 > 0
f'(3) = 405 + 24 > 0

Из анализа знаков видно, что x=-2^(1/3) является точкой минимума, а x=0 - точкой максимума.

Теперь находим точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю:

20x^3 + 8 = 0
x^3 = -2^(1/3)
x = -2^(1/9)

Проверяем знаки в окрестности найденной точки. Проверим значения x: x1=-3, x2=-1, x3=1

f''(-3) = -540 + 8 < 0
f''(-1) = -12 + 8 < 0
f''(1) = 28 + 8 > 0

Из анализа знаков видно, что x=-2^(1/9) является точкой перегиба.

Теперь можем построить график функции f(x)=x^5+4x^2-5:

(вставьте график)