Исходные равенства можно переписать следующим образом:

(x+y)(x+y+z) = 3(y+z)(y+z+x) = 4(z+x)(z+x+y) = 5

Раскрываем скобки:

x^2 + xy + xy + y^2 + xz + yz = 3y^2 + yz + yz + z^2 + xy + xz = 4z^2 + zx + zx + x^2 + yz + xy = 5

Складываем все уравнения:
2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2(xy + yz + xz) = 12
x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + xz) = 6

Заметим, что левая часть последнего уравнения равна сумме квадратов. Известно, что сумма квадратов равна 6. Таким образом:
(x+y+z)^2 = 6

Ответ: 6.