1)Докажите, что последняя цифра любого натурального числа совпадает с последней цифрой пятой степени этого же числа. Для каких ещё степеней это верно? 2)Докажите, что произведение двух последовательных четных чисел всегда делится на 8 3)Докажите,что число, состоящее из трёх едениц и нескольких девяток(в любом порядке), не является точным квадратом( т.е квадратом целого числа)
1)Докажите, что последняя цифра любого натурального числа совпадает с последней цифрой пятой степени этого же числа. Для каких ещё степеней это верно? 2)Докажите, что произведение двух последовательных четных чисел всегда делится на 8 3)Докажите,что число, состоящее из трёх едениц и нескольких девяток(в любом порядке), не является точным квадратом( т.е квадратом целого числа)
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
1) Пусть у нас есть натуральное число ( n ) с последней цифрой ( a ). Тогда ( n = 10k + a ), где ( k ) - некоторое целое число.
Тогда пятая степень числа ( n ) выражается как ( n^5 = (10k + a)^5 = 10^5k^5 + C_1 \cdot 10^4k^4a + C_2 \cdot 10^3k^3a^2 + C_3 \cdot 10^2k^2a^3 + C_4 \cdot 10ka^4 + a^5 ).
Последняя цифра числа ( n^5 ) равна последней цифре ( a^5 ).
Таким образом, последняя цифра любого натурального числа совпадает с последней цифрой пятой степени этого же числа.
Это верно также для степеней 5, 10, 15, 20 и т.д., поскольку последняя цифра числа при возведении в степень определяется только последней цифрой основания.
2) Пусть у нас есть два последовательных четных числа: ( 2n ) и ( 2n + 2 ), где ( n ) - целое число.
Произведение этих чисел выражается как ( 4n(n + 1) ).
Одно из двух последовательных чисел ( n ) и ( n + 1 ) всегда будет четным, и следовательно, произведение ( 4n(n + 1) ) всегда делится на 8, так как содержит в себе двойку в качестве множителя.
3) Предположим, что число, состоящее из трех единиц и ( k ) девяток (в любом порядке), является точным квадратом.
Такое число можно представить в виде ( 100...001 ), где ( k ) девяток находятся между двумя единицами.
Если это число является квадратом, оно должно быть представимо в виде ( m^2 ), где ( m ) - целое число.
Однако такое число не может быть точным квадратом, так как его квадрат будет иметь нечетное количество цифр, что противоречит квадрату целого числа.
Следовательно, число, состоящее из трех единиц и ( k ) девяток, не является точным квадратом.