Найдем корни уравнения (x-1)(3-x)(x-2)^2 = 0.

Из условия находим корни: x=1, x=3, x=2.

Получаем интервалы:
1) x < 1
2) 1 < x < 2
3) 2 < x < 3
4) x > 3

Проверяем значения на каждом интервале:

1) Выбираем x = 0: (0-1)(3-0)(0-2)^2 = -334 = -36 < 0
2) Выбираем x = 1.5: (1.5-1)(3-1.5)(1.5-2)^2 = 0.51.5(-0.5)^2 = 0.1875 > 0
3) Выбираем x = 2.5: (2.5-1)(3-2.5)(2.5-2)^2 = 1.50.50.25 = 0.1875 > 0
4) Выбираем x = 4: (4-1)(3-4)(4-2)^2 = 3(-1)2^2 = -12 < 0

Таким образом, неравенство (x-1)(3-x)(x-2)^2 >= 0 выполняется для x принадлежащих интервалам: 1 < x < 2 и 2 < x < 3.