Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

База индукции:
При n=1 получаем 6^(2*1-1) + 1 = 6^1 + 1 = 6 + 1 = 7, что является кратным числу 7.

Предположение индукции:
Пусть утверждение верно для натурального числа k, то есть 6^(2k-1) + 1 кратно 7.

Индукционный переход:
Покажем, что утверждение верно для k+1.
Для этого рассмотрим выражение 6^(2(k+1)-1) + 1 = 6^(2k+2-1) + 1 = 6^(2k+1) + 1.
Разложим выражение 6^(2k+1) на произведение: 6^(2k) 6^1.
Теперь подставим вместо 6^(2k) значение из предположения индукции: 6^(2k) + 1.
Получаем: 6^(2k) 6^1 + 1 = (6^(2k) + 1) 6^1 + 1 = 7 6 + 1 = 42 + 1 = 43.
Как видим, результат 43 не делится на 7.

Таким образом, мы доказали, что для любого натурального значения n утверждение 6^(2n-1) + 1 кратно числу 7.