Для исследования монотонности данной функции Y=x^3-6x^2+2x-6 необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю и провести исследование знаков производной.

Найдем производную функции:
Y'(x) = 3x^2 - 12x + 2

Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:
3x^2 - 12x + 2 = 0
D = (-12)^2 - 432 = 144 - 24 = 120
x1,2 = (12 ± √120) / 6
x1 = (12 + √120) / 6 ≈ 3.56
x2 = (12 - √120) / 6 ≈ 0.44

Запишем таблицу знаков производной в зависимости от значений x:
x < 0.440.44 < x < 3.56x > 3.56Y'(-)Y'(-)Y'(+)

Исследуем знаки производной в каждом интервале:

При x < 0.44 функция возрастает, так как Y'(x) < 0.При 0.44 < x < 3.56 функция убывает, так как Y'(x) < 0.При x > 3.56 функция возрастает, так как Y'(x) > 0.

Таким образом, функция Y=x^3-6x^2+2x-6 монотонно возрастает на интервале x ∈ (3.56, +∞) и монотонно убывает на интервале x ∈ (-∞, 0.44) соответственно.